Hoe stelsels van vergelijkingen op te lossen

Het is niet moeilijk om het systeem van vergelijkingen op te lossen door de basismethoden te gebruiken voor het oplossen van systemen van lineaire vergelijkingen: de substitutiemethode en de optelmethode.

Gebruiksaanwijzing

1

Laten we eens kijken naar methoden voor het oplossen van een stelsel vergelijkingen met behulp van een voorbeeld van een systeem van twee lineaire vergelijkingen met twee onbekende waarden. Over het algemeen wordt zo'n systeem als volgt geschreven (aan de linkerkant worden de vergelijkingen gecombineerd met een accolade):

ax + b = c

dx + ey = f, waar

a, b, c, d, e, f zijn de coëfficiënten (specifieke getallen), en x en y zijn, zoals gewoonlijk, onbekend. De getallen a, b, c, d worden de coëfficiënten voor onbekenden genoemd en c en f worden vrije termen genoemd. De oplossing voor zo'n systeem van vergelijkingen wordt gevonden door twee hoofdmethoden.

De oplossing van het stelsel vergelijkingen door de substitutiemethode.

1. We nemen de eerste vergelijking en drukken een van de onbekenden (x) uit in termen van de coëfficiënten en de andere onbekende (y):

x = (s-by) / a

2. Vervang de voor x verkregen uitdrukking door de tweede vergelijking:

d (c-by) / a + ey = f

3. Als we de resulterende vergelijking oplossen, vinden we de uitdrukking voor y:

y = (af-cd) / (ae-bd)

4. Vervang de resulterende uitdrukking voor y door de uitdrukking voor x:

x = (ce-bf) / (ae-bd)

Voorbeeld: je moet een systeem van vergelijkingen oplossen:

3x-2y = 4

x + 3y = 5

Zoek de waarde van x uit de eerste vergelijking:

x = (2j + 4) / 3

Vervang de resulterende uitdrukking in de tweede vergelijking en krijg een vergelijking met één variabele (y):

(2j + 4) / 3 + 3j = 5, vanwaar we krijgen:

y = 1

Nu vervangen we de gevonden waarde van y in de uitdrukking door de variabele x:

x = (2 * 1 + 4) / 3 = 2

Antwoord: x = 2, y = 1.

2

De oplossing van het systeem van vergelijkingen door de methode van optellen (aftrekken).

Deze methode reduceert het vermenigvuldigen van beide zijden van de vergelijkingen met getallen (parameters) zodat de coëfficiënten van een van de variabelen samenvallen (mogelijk met het tegengestelde teken).

In het algemeen moeten beide zijden van de eerste vergelijking worden vermenigvuldigd met (-d) en beide zijden van de tweede vergelijking met a. Als resultaat krijgen we:

-adx-bdу = -cd

adx + aey = af

Als we de resulterende vergelijkingen toevoegen, verkrijgen we:

-bdu + aeu = -cd + af, vanwaar we de uitdrukking voor de variabele y krijgen:

y = (af-cd) / (ae-bd), ter vervanging van de uitdrukking voor y in elke vergelijking van het systeem, verkrijgen we:

ax + b (af-cd) / (ae-bd) = c?

uit deze vergelijking vinden we de tweede onbekende:

x = (ce-bf) / (ae-bd)

Een voorbeeld. Los het systeem van vergelijkingen op door toe te voegen of af te trekken:

3x-2y = 4

x + 3y = 5

Vermenigvuldig de eerste vergelijking met (-1) en de tweede met 3:

-3x + 2y = -4

3x + 9j = 15

Door (term per term) beide vergelijkingen toe te voegen, verkrijgen we:

11j = 11

Waar halen we:

y = 1

We vervangen de verkregen waarde voor y in een van de vergelijkingen, bijvoorbeeld in de tweede die we verkrijgen

3x + 9 = 15, vanwaar

x = 2

Antwoord: x = 2, y = 1.