Hoe vergelijkingen met wortels op te lossen

Soms is er in de vergelijkingen een teken van de wortel. Het lijkt veel studenten dat het erg moeilijk is om dergelijke vergelijkingen 'met wortels' of, beter gezegd, irrationele vergelijkingen op te lossen, maar dat is niet zo.

Gebruiksaanwijzing

1

In tegenstelling tot andere soorten vergelijkingen, bijvoorbeeld kwadratische of lineaire vergelijkingssystemen, is er geen standaardalgoritme voor het oplossen van vergelijkingen met wortels, of beter gezegd, irrationele vergelijkingen. In elk specifiek geval is het noodzakelijk om de meest geschikte oplossingsmethode te selecteren op basis van het "uiterlijk" en de kenmerken van de vergelijking.

Het verhogen van delen van de vergelijking in dezelfde mate.

Om vergelijkingen met wortels op te lossen (irrationele vergelijkingen) wordt meestal de verhoging van beide zijden van de vergelijking in dezelfde mate gebruikt. In de regel gelijk aan de graad van de wortel (vierkant voor wortel, kubus voor wortel). Houd er rekening mee dat wanneer hij de linker- en rechterkant van de vergelijking in gelijke mate verhoogt, hij mogelijk 'extra' wortels heeft. Daarom moet men in dit geval de verkregen wortels controleren door ze in de vergelijking te vervangen. Bijzondere aandacht bij het oplossen van vergelijkingen met vierkante (even) wortels moet worden gegeven aan het bereik van toelaatbare waarden van de variabele (ODZ). Soms is de schatting van de ODL alleen voldoende om de vergelijking op te lossen of aanzienlijk te vereenvoudigen.

Een voorbeeld. Los de vergelijking op:

√ (5x-16) = x-2

We kwadrateren beide kanten van de vergelijking:

(√ (5x-16)) ² = (x-2) ², vandaar krijgen we achtereenvolgens:

5x-16 = x²-4x + 4

h²-4x + 4-5x + 16 = 0

h²-9x + 20 = 0

Als we de verkregen kwadratische vergelijking oplossen, vinden we de wortels:

x = (9 ± √ (81-4 ​​* 1 * 20)) / (2 * 1)

x = (9 ± 1) / 2

x1 = 4, x2 = 5

Door beide gevonden wortels in de oorspronkelijke vergelijking te plaatsen, verkrijgen we de juiste gelijkheid. Daarom zijn beide getallen oplossingen van de vergelijking.

2

Methode voor het introduceren van een nieuwe variabele.

Soms is het handiger om de wortels van een 'vergelijking met wortels' (een irrationele vergelijking) te vinden door nieuwe variabelen te introduceren. In feite wordt de essentie van deze methode eenvoudigweg teruggebracht tot een compactere oplossing, d.w.z. in plaats van elke keer een logge uitdrukking te schrijven, wordt deze vervangen door een legende.

Een voorbeeld. Los de vergelijking op: 2x + √x-3 = 0

Je kunt deze vergelijking oplossen door beide kanten vierkant te maken. De berekeningen zelf zullen er echter nogal omslachtig uitzien. Bij het introduceren van een nieuwe variabele zal het beslissingsproces veel eleganter blijken te zijn:

We introduceren een nieuwe variabele: y = √ x

Dan krijgen we de gewone kwadratische vergelijking:

2y² + y-3 = 0, met variabele y.

Als we de resulterende vergelijking oplossen, vinden we twee wortels:

y1 = 1 en y2 = -3 / 2, Als we de gevonden wortels in de uitdrukking vervangen door de nieuwe variabele (y), krijgen we:

√ x = 1 en √ x = -3 / 2.

Aangezien de vierkantswortelwaarde geen negatief getal kan zijn (als u het gebied van complexe getallen niet aanraakt), krijgen we de enige oplossing:

x = 1.

vierkantswortel oplossing