Hoe de oppervlakte van een op vectoren gebouwd parallellogram te berekenen

Op elke twee niet-lineaire en niet-nulvectoren kan een parallellogram worden geconstrueerd. Deze twee vectoren zullen een parallellogram samentrekken als u hun oorsprong op een bepaald punt combineert. Werk de zijkanten van de figuur af.

Gebruiksaanwijzing

1

Zoek de lengtes van de vectoren als hun coördinaten worden gegeven. Stel dat de vector A coördinaten (a1, a2) in het vlak heeft. Dan is de lengte van de vector A | A | = √ (a1² + a2²). Evenzo vinden we de module van de vector B: | B | = √ (b1² + b2²), waarbij b1 en b2 de coördinaten zijn van de vector B op het vlak.

2

Het parallellogramgebied wordt gevonden door de formule S = | A | • | B | • sin (A ^ B), waarbij A ^ B de hoek is tussen de gegeven vectoren A en B. De sinus kan worden gevonden door de cosinus met behulp van de basale trigonometrische identiteit: sin²α + cos²α = 1. De cosinus kan worden uitgedrukt in termen van het scalaire product van vectoren die in coördinaten zijn geschreven.

3

Het scalaire product van een vector A door een vector B wordt aangegeven met (A, B). Per definitie is het gelijk aan (A, B) = | A | • | B | • cos (A ^ B). En in coördinaten wordt het scalaire product als volgt geschreven: (A, B) = a1 • b1 + a2 • b2. Vanaf hier kunnen we de cosinus van de hoek tussen de vectoren uitdrukken: cos (A ^ B) = (A, B) / | A | • | B | = (a1 • b1 + a2 • b2) / √ (a1² + a2²) • √ (a2² + b2²). In de teller het scalaire product; in de noemer de lengtes van de vectoren.

4

Nu kunnen we de sinus uitdrukken van de belangrijkste goniometrische identiteit: sin²α = 1-cos²α, sinα = ± √ (1-cos²α). Als we aannemen dat de hoek α tussen de vectoren acuut is, kan de min met de sinus worden weggegooid, waardoor alleen het plusteken overblijft, aangezien de sinus van de acute hoek alleen positief kan zijn (of nul bij nulhoek, maar hier is de hoek niet nul, dit wordt weergegeven in de toestand niet-collineariteit van vectoren).

5

Nu moeten we de coördinaatuitdrukking vervangen door de cosinus in de sinusformule. Hierna resteert alleen het resultaat in de formule van het parallellogramgebied. Als dit allemaal is gedaan en de numerieke uitdrukking is vereenvoudigd, dan blijkt dat S = a1 • b2-a2 • b1. Het oppervlak van het op de vectoren A (a1, a2) en B (b1, b2) geconstrueerde parallellogram wordt dus gevonden met de formule S = a1 • b2-a2 • b1.

6

De resulterende uitdrukking is de determinant van de matrix die is samengesteld uit de coördinaten van de vectoren A en B: a1 a2b1 b2.

7

Om een ​​determinant van een matrix met dimensie twee te verkrijgen, moeten we inderdaad de elementen van de hoofddiagonaal (a1, b2) vermenigvuldigen en hieruit het product van de elementen van de zijdiagonaal (a2, b1) aftrekken.