Hoe de oppervlakte van een cirkelvormig segment te vinden

Een van de meest voorkomende geometrische problemen is het berekenen van de oppervlakte van een cirkelvormig segment - het deel van een cirkel dat wordt begrensd door een akkoord en het bijbehorende akkoord van een cirkelboog.

De oppervlakte van het cirkelvormige segment is gelijk aan het verschil tussen de oppervlakte van de corresponderende cirkelvormige sector en de oppervlakte van de driehoek gevormd door de stralen van het corresponderende segment van de sector en het akkoord dat het segment begrenst.

Voorbeeld 1

De lengte van het akkoord dat een cirkel samentrekt, is gelijk aan de waarde van a. De graadmaat van de boog die overeenkomt met het akkoord is 60 °. Zoek het gebied van het ronde segment.

Oplossing

Een driehoek gevormd door twee stralen en een akkoord is gelijkbenig, dus de hoogte vanaf de bovenkant van de centrale hoek naar de zijkant van de driehoek gevormd door het akkoord zal ook de bissectrice van de centrale hoek zijn, halvering en de mediaan, halvering van het akkoord. Wetende dat de sinus van de hoek in een rechthoekige driehoek gelijk is aan de verhouding van de andere kant tot de hypotenusa, kunnen we de straal berekenen:

Sin 30 ° = a / 2: R = 1/2;

R = een.

De oppervlakte van de sector die overeenkomt met een bepaalde hoek kan worden berekend met de volgende formule:

Sc = πR² / 360 ° * 60 ° = πa² / 6

De oppervlakte van de driehoek die overeenkomt met de sector wordt als volgt berekend:

S ▲ = 1/2 * ah, waarbij h de hoogte is die wordt getrokken vanaf de bovenkant van de centrale hoek tot het akkoord. Volgens de stelling van Pythagoras, h = √ (R²-a² / 4) = √3 * a / 2.

Dienovereenkomstig is S ▲ = √3 / 4 * a².

De oppervlakte van het segment, berekend als Sseg = Sc - S ▲, is gelijk aan:

Sseg = πa² / 6 - √3 / 4 * a²

Als u een numerieke waarde vervangt in plaats van a, kunt u eenvoudig de numerieke waarde van het segmentgebied berekenen.

Voorbeeld 2

De straal van de cirkel is gelijk aan a. De graadmaat van de boog die overeenkomt met het segment is 60 °. Zoek het gebied van het ronde segment.